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        在限定论域的时候,为什么“任何一个”表示成蕴含式∀x(S(x) -> C(x)) ... ...

        2020-2-10 17:44| 发布者: Fuller| 查看: 587| 程雪柔magnet: 0

        摘要: 最近在研读离散数学,关于限定域( Restricted Domain)的谓词表示方式,查到知乎上有一个问答在讨论这个问题,我觉得有必要再解答一下,因为我也思考了很久才得出的理解,所以形成了这篇回答:《离散数学中,为什么在 ...
        最近在研读离散数学,关于限定域( Restricted Domain)的谓词表示方式,查到知乎上有一个问答在讨论这个问题,我觉得有必要再解答一下,因为我也思考了很久才得出的理解,所以形成了这篇回答:《离散数学中,为什么在表示“所有人···”的时候使用蕴涵式,在表达“有的人···”的时候使用合取式?》,摘录如下

        1,首先要强调论域,采用其中一个回答者给的statement

        “对班上每一个学生x,x学过微积分”,论域是班上的学生,表达成∀xC(x)

        现在看另一个statement,扩大论域

        “对每个人x,如果x是班上的学生,那么x学过微积分”,论域是扩大了,我们说这个应该表达成∀x(S(x) -> C(x))

        2,接下来,我们问为什么要表示成->,而不是∧

        我们知道,要证明∀xP(x)这样的命题不成立,只要找一个反例conterexample。如果是程序员,应该是很熟悉,在一个loop中,只要遇到一个false我就跳出loop,这里也是一样。

        好,我们找反例,如果有个x,S(x)不成立,因为论域是所有人,这是允许的,如果S(x)是false的时候我们要看看是不是一个反例,也就是说,要看看∀xP(x)这个形式的命题是不成立的。如果P(x) 是 S(x)∧C(x)的话,毫无疑问,就找到了一个反例。而如果P(x)是S(x) -> C(x)的时候,x不是这个班的(这是合法的,因为论域是所有人),S(x)是false,而S(x) -> C(x)是true,那么x就不是一个反例

        以上我说的,并没有证明一定要用 ∀x(S(x) -> C(x)),但是证明了不能用 ∀x(S(x) ∧ C(x))

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